ГОСТ Р 54500.3.1-2011 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло.
ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008
Группа Т80
НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
Часть 3
Руководство по выражению неопределенности измерения
Дополнение 1
Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло
Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement. Supplement 1. Propagation of distributions using a Monte Carlo method
ОКС 17.020
Дата введения 2012-10-01
Предисловие
Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. N 184-ФЗ "О техническом регулировании", а правила применения национальных стандартов Российской Федерации - ГОСТ Р 1.0-2004 "Стандартизация в Российской Федерации. Основные положения"
Сведения о стандарте
1 ПОДГОТОВЛЕН Федеральным государственным унитарным предприятием "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д.И.Менделеева" (ФГУП "ВНИИМ") и Автономной некоммерческой организацией "Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем" (АНО "НИЦ КД") на основе собственного аутентичного перевода на русский язык международного документа, указанного в пункте 4
2 ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции"
3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 16 ноября 2011 г. N 555-ст
4 Настоящий стандарт идентичен международному документу Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008* "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло" [ISO/IEC Guide 98-3:2008/Supplement 1:2008 "Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) - Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method"].
В стандарт введены технические изменения 1, подготовленные техническим управляющим комитетом (ТМВ) ИСО, которые выделены двойной вертикальной линией, расположенной слева от соответствующего текста.
При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные и межгосударственные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА
5 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты", а текст изменений и поправок - в ежемесячно издаваемых информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячно издаваемом информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет
Введение
0.1 Общие сведения
В настоящем стандарте рассматривается трансформирование распределений для заданной математической модели измерений [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.1.6)] с целью получения оценки неопределенности измерений и реализация этой процедуры методом Монте-Карло. Метод применим к моделям с произвольным числом входных величин и единственной выходной величиной.
Метод Монте-Карло является практической альтернативой способу оценки неопределенности по GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.4.8)]. Метод имеет особое значение, когда:
a) линеаризация модели не обеспечивает ее адекватного представления;
В случае а) оценки выходной величины и соответствующей стандартной неопределенности, полученные в соответствии с GUM, могут оказаться недостоверными. В случае b) при оценке неопределенности могут быть получены недостоверные интервалы охвата (обобщение понятия расширенной неопределенности, используемого в GUM).
1) наилучших оценок входных величин;
2) стандартных неопределенностей оценок входных величин;
3) числа степеней свободы для стандартных неопределенностей оценок входных величин;
4) всех ненулевых ковариаций пар этих оценок.
Кроме того, полученная плотность распределения вероятностей выходной величины позволяет определить для выходной величины интервал охвата с заданной вероятностью.
Наилучшие оценки входных величин, их стандартные неопределенности, ковариации и числа степеней свободы представляют собой ту информацию, которая необходима для применения метода расчета неопределенности по GUM. Метод, устанавливаемый настоящим стандартом, основан на использовании плотностей распределения вероятностей входных величин для последующего расчета плотности распределения вероятностей выходной величины.
В то время как для применения способа оценивания неопределенности по GUM существуют некоторые ограничения, трансформирование распределений всегда позволяет получить плотность распределения вероятностей выходной величины на основе распределений входных величин. Плотность распределения вероятностей выходной величины представляет собой выражение знания об этой величине, полученного на основе знаний о входных величинах в виде сопоставленных им распределений. После получения плотности распределения вероятностей выходной величины могут быть определены математическое ожидание, используемое в качестве оценки выходной величины, и стандартное отклонение, используемое в качестве стандартной неопределенности этой оценки. Кроме того, плотность распределения вероятностей может быть использована для получения интервала охвата для выходной величины, соответствующего заданной вероятности.
Использование плотностей распределения вероятностей в соответствии с настоящим стандартом в основном согласуется с принципами GUM. Плотность распределения вероятностей величины отражает состояние знаний об этой величине, т.е. она численно определяет степень доверия тем значениям, которые могут быть приписаны упомянутой величине на основе доступной информации. Информация обычно состоит из необработанных статистических данных, результатов измерения, научных выводов, профессиональных суждений.
Для построения плотности распределения вероятностей случайной величины на основе наблюдений может быть применена теорема Байеса [27, 33]. Информация о систематических эффектах может быть преобразована в соответствующую плотность распределения вероятностей на основе принципа максимума энтропии [51, 56].
Трансформирование распределений имеет более широкую область применения, чем способ оценивания неопределенности по GUM. Метод трансформирования распределений использует более обширную информацию, чем та, что содержится в наилучших оценках и соответствующих стандартных неопределенностях (а также в числах степеней свободы и ковариациях).
Исторический обзор приведен в приложении А.
Примечание 1 - В GUM рассматривается случай, когда линеаризация модели измерения неприменима [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)]. Однако это рассмотрение ограничено использованием только основных нелинейных членов в ряде Тейлора для функции измерения, а также предположением о нормальности распределения входных величин.
Примечание 3 - Плотность распределения вероятностей не следует понимать в смысле частотного описания вероятности.
Примечание 4 - "Оценивание неопределенности нельзя рассматривать как типовую задачу, требующую применения стандартных математических процедур. От пользователя требуется детальное знание природы измеряемой величины и процедуры измерения. Поэтому качество оценки неопределенности, приписанной результату измерений, зависит, в конечном счете, от понимания, критического анализа и профессиональной добросовестности всех лиц, принимающих участие в ее получении" [17].
0.2 Основные сведения о JCGM
В 1997 г. семью международными организациями, подготовившими в 1993 г. "Руководство по выражению неопределенности измерения" (GUM) и "Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины" (VIM), был образован Объединенный комитет по руководствам в метрологии (JCGM), возглавляемый директором Международного бюро мер и весов (МБМВ), который принял на себя ответственность за указанные документы от Технической консультативной группы по метрологии (ИСО/ТАГ 4).
Учредителями JCGM, помимо МБМВ, являются Международная электротехническая комиссия (МЭК), Международная федерация клинической химии и лабораторной медицины (МФКХ), Международное сотрудничество по аккредитации лабораторий (ИЛАК), Международная организация по стандартизации (ИСО), Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК), Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП) и Международная организация по законодательной метрологии (МОЗМ).
В рамках JCGM созданы две Рабочие группы (РГ). Задачей РГ 1 "Выражение неопределенности измерения" является содействие использованию Руководства (GUM), подготовка дополнений к Руководству и иных документов, способствующих его широкому применению. Задачей РГ 2 "Рабочей группы по Международному словарю основных и общих терминов в метрологии (VIM)" является пересмотр VIM и содействие его применению. Более подробную информацию о деятельности JCGM можно найти на сайте www.bipm.org.
Дополнения к GUM, подобные тому, что положен в основу настоящего стандарта, имеют целью распространить руководство на те аспекты, которые в этом руководстве в полной мере не отражены. При этом, однако, разрабатываемые дополнения соответствуют, насколько это возможно, общей методологии, изложенной в GUM.
1 Область применения
В настоящем стандарте установлен численный метод, согласующийся с основными принципами GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)] и предназначенный для получения оценки неопределенности измерения. Этот метод может быть применен к любым моделям, имеющим единственную выходную величину, в которых входные величины характеризуются любыми заданными функциями распределения вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.4, G.5.3)].
Также как GUM, настоящий стандарт посвящен вопросам определения выражения для неопределенности измерения хорошо определенной физической величины, характеризуемой единственным значением [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (1.2)].
В настоящем стандарте установлены также методы, применимые в ситуациях, когда условия применения способа расчета неопределенности по GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.6)] не выполняются или информация об их выполнении отсутствует. Стандарт также может быть применен в ситуациях, когда возникают трудности при оценке неопределенности по GUM, например вследствие сложности модели. Методы изложены в виде, облегчающем их программирование для расчетов на компьютере.
Настоящий стандарт может быть использован для определения плотности распределения вероятностей выходной величины, что позволяет получить:
a) оценку выходной величины;
b) стандартную неопределенность, ассоциированную с этой оценкой;
c) интервал охвата для выходной величины, соответствующий заданной вероятности охвата.
При заданных (i) модели, описывающей взаимосвязь входных величин с выходной величиной, и (ii) плотностях распределения вероятностей входных величин существует единственная плотность распределения вероятностей выходной величины. Как правило, последняя не может быть определена аналитически. Настоящий стандарт позволяет определить величины, указанные в перечислениях а), b) и с) с приемлемой точностью, не используя приближений, которые нельзя оценить количественно.
Настоящий стандарт позволяет получить интервал охвата для заданной вероятности охвата, в том числе вероятностно симметричный и наименьший интервалы.
Настоящий стандарт применим к статистически независимым входным величинам с соответствующими функциями плотности распределения вероятностей, а также к статистически зависимым случайным величинам, описанным совместной плотностью распределения.
Как правило, настоящий стандарт применяют в случаях, когда:
- вклад разных составляющих неопределенности может быть существенно неодинаков [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.2.2)];
- трудно или неудобно находить частные производные от функции измерения, как того требует закон трансформирования неопределенностей;
- оценка выходной величины и соответствующая стандартная неопределенность имеют приблизительно одинаковое значение [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.2.1)];
- модель является достаточно сложной [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)];
- плотности распределения вероятностей входных величин асимметричны [Руководство ИСО/МЭК 98-3(G.5.3)].
Прежде чем применять метод, установленный настоящим стандартом, рекомендуется проверить, позволяют ли условия измерительной задачи использовать способ оценивания неопределенности по GUM. Если условия позволяют, то основным методом расчета остается оценивание неопределенности способом, установленным в GUM.
Значение для неопределенности измерений, как правило, достаточно приводить с одной или двумя значащими цифрами. Методы, установленные настоящим стандартом, позволяют получить оценки с указанной точностью.
Применение стандарта иллюстрировано подробными примерами.
Настоящий стандарт служит дополнением к GUM и должен быть использован вместе с ним. Он не исключает использования других методов расчета неопределенности, не противоречащих GUM.
Примечание 1 - Настоящий стандарт неприменим к моделям, описываемым многозначными функциями (например, в виде решения квадратного уравнения без указания, какой из корней должен быть выбран).
Примечание 2 - В настоящем стандарте не рассмотрен случай, когда априорно известна плотность распределения вероятностей выходной величины, однако установленный в нем метод может быть модифицирован и для этой ситуации [16].
2 Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие документы:
Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения (GUM:1995)[ISO/IEC Guide 98:2008, Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995)]
Руководство ИСО/МЭК 99:2007 Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM) [ISO/IEC Guide 99:2007 International vocabulary of metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM)]
3 Термины и определения
В настоящем стандарте применены термины по Руководству ИСО/МЭК 98-3 и Руководству ИСО/МЭК 99, некоторые из которых (при необходимости, модифицированных) приведены в настоящем разделе.
Обозначения, использованные в настоящем стандарте, приведены в приложении G.
3.1 распределение (вероятностей) (probability distribution): Функция, устанавливающая вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к заданному множеству значений.
Примечание - Сумма вероятностей принятия случайной величиной всех возможных значений равна 1.
[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.3, Руководство ИСО/МЭК 98-3, словарная статья С.2.3]
Примечание 1 - Распределение вероятностей называется одномерным, если оно описывает поведение единственной (скалярной) случайной величины, и многомерным, если оно описывает поведение вектора случайных величин. Многомерное распределение вероятностей описывается также совместным распределением этих случайных величин.
Примечание 2 - Распределение вероятностей может быть представлено в виде функции распределения и плотности распределения вероятностей.
[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.4; Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008, словарная статья С.2.4]
3.3 плотность распределения (вероятностей) (probability density function): Первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной величины
[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.5; Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008, словарная статья С.2.5]
[Модифицировано по отношению к ИСО 3534-1:1993, словарная статья 1.37; Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008, словарная статья С.2.14]
Примечание - Нормальное распределение называют также распределением Гаусса.
Примечание 1 - Не всякая случайная величина имеет математическое ожидание.
Примечание - Не всякая случайная величина имеет дисперсию.
Примечание - Не все пары случайных величин имеют ковариацию.
Примечание 2 - Ковариации также можно трактовать как совместные неопределенности.
Примечание 3 - Матрицу неопределенности также называют матрицей ковариации или дисперсионно-ковариационной матрицей.
3.12 интервал охвата* (coverage interval): Интервал, построенный на основе имеющейся информации и содержащий значение случайной величины с заданной вероятностью.
_______________
* В отечественных нормативных документах интервал охвата иногда называют интервалом неопределенности.
Примечание 1 - Интервал охвата иногда называют байесовским интервалом.
Примечание 2 - В общем случае для заданной вероятности существует более одного интервала охвата.
Примечание 3 - Интервал охвата не следует называть доверительным интервалом, чтобы избежать путаницы с термином, имеющим строгую статистическую интерпретацию [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (6.2.2)].
Примечание 4 - Данное определение отличается от определения, приведенного в Руководстве ИСО/МЭК 99, поскольку в настоящем стандарте не использован термин "истинное значение" по причинам, изложенным в GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (Е.5)].
3.13 вероятность охвата (coverage probability): Вероятность того, что значение случайной величины находится в границах интервала охвата.
Примечание - Вероятность охвата иногда называют уровнем доверия [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (6.2.2)].
3.14 длина интервала охвата (length of a coverage interval): Разность наибольшего и наименьшего значений интервала охвата.
3.15 вероятностно симметричный интервал охвата (probabilistically symmetric coverage interval): Интервал охвата, для которого вероятность того, что значение случайной величины меньше наименьшего значения (нижней границы) интервала охвата, равна вероятности того, что значение случайной величины больше наибольшего значения (верхней границы) интервала.
3.16 наименьший интервал охвата (shortest coverage interval): Интервал охвата, имеющий наименьшую длину среди всех возможных интервалов охвата для данной случайной величины с одинаковой вероятностью охвата.
3.17 трансформирование распределений (propagation of distributions): Метод, используемый для определения функции распределения выходной величины на основе функций распределения входных величин, от которых выходная величина зависит функционально.
Примечание - Метод может быть аналитическим или численным, точным или приближенным.
3.19 метод Монте-Карло (Monte Carlo method): Метод трансформирования распределений на основе моделирования случайных выборок из этих распределений.
3.20 предел погрешности вычисления (numerical tolerance): Половина длины наименьшего интервала, содержащего все числа, отражающие результат вычислений, которые могут быть корректно представлены заданным числом значащих цифр.
Пример - При использовании в представлении результата вычисления двух значащих цифр записи 1,8 соответствуют все числа более 1,75 и менее 1,85. Тогда предел погрешности вычисления будет равен (1,85-1,75)/2=0,05.
Примечание - Расчет предела погрешности вычисления - см. 7.9.2.
4 Соглашения и условные обозначения
В настоящем стандарте использованы следующие соглашения и условные обозначения.
Примечание 1 - В настоящем стандарте один и тот же символ использован для физической величины и случайной величины, которая эту величину представляет [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1.1, примечание 1)].
Примечание 2 - Хотя многие модели измерений могут быть представлены формулой (1), более общим представлением является
Примечание - Определения, приведенные в разделе 3, даны в соответствии с изложенным соглашением об обозначениях.
4.5 Плотность распределения вероятностей нескольких случайных величин часто называют совместной, даже если все входные величины являются независимыми.
Примечание - Символ с "крышкой" в литературе по математической статистике используют для обозначения оценки.
4.9 В настоящем стандарте термин "закон трансформирования неопределенностей" используют в смысле аппроксимации функции измерения рядом Тейлора первого порядка. Этот термин также может быть применен при использовании разложения в ряд более высокого порядка.
4.11 В настоящем стандарте использованы термины "интервал охвата" и "вероятность охвата". В GUM в качестве синонима "вероятности охвата" использован термин "уровень доверия" с предупреждением, что это не то же самое, что "доверительная вероятность" [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (6.2.2)], поскольку последний термин имеет специальное определение в математической статистике. Т.к. в некоторых языках перевод с английского терминов "уровень доверия" и "доверительная вероятность" совпадает, в настоящем стандарте термин "уровень доверия" не используется.
4.12 Для обозначения десятичной дроби используется запятая*.
_______________
* В оригинале на английском языке в данном подразделе указывается на использование в качестве десятичного знака точки вместо запятой.
4.13 Если не определено иначе, то числа представляют с заданным количеством значащих цифр.
4.14 Некоторые символы, использованные в настоящем стандарте, имеют более одного значения (см. приложение G). Однако их смысл понятен из контекста.
4.15 В настоящем стандарте использованы следующие сокращения:
CGPM - Генеральная конференция по мерам и весам;
IEEE - Институт инженеров электротехники и электроники;
JCGM - Объединенный комитет по руководствам в метрологии;
GUM - Руководство по выражению неопределенности измерения;
VIM - Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины.
5 Общие принципы
5.1 Основные этапы оценки неопределенности
5.1.1 Основные этапы оценки неопределенности включают в себя формулировку измерительной задачи, трансформирование распределений и получение окончательного результата:
a) формулировка измерительной задачи включает в себя:
Примечание 1 - В некоторых случаях оценка выходной величины в виде математического ожидания может оказаться неприемлемой [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1.4)].
Примечание 2 - Некоторые величины, например подчиняющиеся распределению Коши, не имеют математического ожидания и стандартного отклонения. Однако интервал охвата для выходной величины всегда может быть построен.
5.1.2 При оценке неопределенности по GUM функции распределения входных величин в явном виде не используют. Однако в соответствии с Руководством ИСО/МЭК 98-3 (3.3.5) "...стандартную неопределенность типа А рассчитывают по плотности распределения вероятностей,... полученной из распределения частот..., а стандартную неопределенность типа В - по предполагаемой плотности распределения вероятностей, отражающей степень уверенности в появлении того или иного события.... Оба подхода используют общепринятые интерпретации понятия вероятности".
Примечание - Трактовка распределения вероятностей при определении оценки неопределенности типа В характерна для байесовского анализа [21, 27]. В настоящее время продолжаются исследования [22] границ применимости формулы Уэлча-Саттертуэйта для расчета числа степеней свободы, приписываемых стандартной неопределенности.
5.1.3 Формулировку измерительной задачи осуществляет метролог с возможным участием специалиста в той области знаний, в которой проводят измерение. В настоящем стандарте приведены рекомендации по выбору плотности распределения вероятностей [стадия 4) этапа а) в соответствии с 5.1.1] для некоторых общих случаев (см. 6.4). Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов [б) и в) в соответствии с 5.1.1], для которых приведены подробные указания, не требуют дополнительной метрологической информации и могут быть выполнены с любой допустимой точностью для поставленной задачи.
Примечание - Как только этап постановки задачи а) в соответствии с 5.1.1 выполнен, тем самым плотность распределения вероятностей для выходной величины формально полностью определена. Однако вычисление математического ожидания, стандартного отклонения и интервала охвата может потребовать применения численных методов, обладающих некоторой степенью приближения.
5.2 Трансформирование распределений
Этот способ основан на применении метода Монте-Карло для трансформирования распределений входных величин (см. 5.9).
5.3 Получение окончательного результата
5.4 Способы трансформирования распределений
5.4.1 Трансформирование распределений осуществляют несколькими способами:
b) применением закона трансформирования неопределенностей, основанного на замене функции измерения ее аппроксимацией рядом Тейлора с членами первого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.2)];
c) применением того же закона трансформирования неопределенностей [см. перечисление b) выше], но с учетом членов разложения более высокого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание к 5.1.2)];
d) численными методами [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)], в том числе с использованием метода Монте-Карло (см. 5.9).
Примечание 1 - Аналитические методы превосходят все прочие с той точки зрения, что они не используют приближений. Однако они применимы только в простых случаях. Применение аналитических методов и примеры их использования приведены в [8, 13]. Далее эти методы в настоящем стандарте рассматриваются только в примерах (см. раздел 9).
Примечание 2 - Метод Монте-Карло в настоящем стандарте используется для получения распределения выходной величины, а не в качестве метода имитационного моделирования. При оценке неопределенности на этапе трансформирования распределений решаемая задача является детерминированной, поэтому в имитационном моделировании случайного процесса нет необходимости.
5.4.2 GUM допускает применение подходов к оценке неопределенности, отличных от того, что использован в самом GUM [см. Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.1.5)]. Однако самым общим из этих подходов является тот, что установлен в настоящем стандарте и основан на трансформировании распределений. Для линейных и линеаризованных функций измерения и входных величин, подчиняющихся нормальному распределению, такой подход согласуется с подходом GUM. Однако в случаях, когда условия применения подхода GUM не выполняются (см. 5.7 и 5.8), подход, установленный в настоящем стандарте, позволяет получить обоснованные заключения о неопределенности.
5.4.3 Трансформирование распределений требует выбора подходящего метода. Если можно продемонстрировать, что условия, необходимые для получения достоверных результатов в соответствии с GUM, выполнены, то может быть использован подход GUM. Если имеются основания полагать, что оценка неопределенности, полученная по GUM, окажется недостоверной, то должен быть применен другой подход. Может возникнуть ситуация, когда сложно оценить обоснованность применения способа оценивания неопределенности по GUM. Однако во всех трех вышеописанных случаях хороший результат может быть получен с использованием метода Монте-Карло. В первом случае метод Монте-Карло может быть проще в применении, например, вследствие трудностей вычисления коэффициентов чувствительности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (5.1.3)]. Во втором случае метод Монте-Карло позволит получить достоверный результат, т.к. его применение не требует использования дополнительных предположений. В третьем случае метод Монте-Карло может быть применен как собственно для получения оценки неопределенности, так и для оценки качества результатов, полученных способом расчета неопределенности по GUM.
5.4.5 На практике только в самых простых случаях преобразование распределений может быть выполнено без приближений. При оценке неопределенности по GUM применяется один метод приближения, в методе Монте-Карло - другой. Для небольшой, но важной подгруппы задач оценки неопределенности в соответствии с GUM не требуется применения приближений (решение является точным). Метод Монте-Карло не позволяет получить точные результаты, но для широкого класса задач он будет более обоснованным, чем подход GUM.
5.5 Представление результатов
5.5.1 После выполнения трансформирования распределений должна быть отражена, как правило, следующая информация:
e) другая значимая информация, такая как тип интервала охвата (вероятностно симметричный или наименьший).
Примечание 1 - Представляемое численное значение обычно получают путем округления числа, содержащего большее количество значащих цифр.
Примечание 3 - Если полученные результаты должны быть использованы в дальнейших вычислениях, следует определить, есть ли необходимость в сохранении большего числа значащих цифр.
5.6 Оценивание неопределенности по GUM
5.6.1 В GUM установлено общее руководство, распространяющееся на разные аспекты последовательного оценивания неопределенности в соответствии с 5.1.1, и установлен способ оценивания неопределенности для этапов трансформирования распределений и получения окончательных результатов измерения. Общая схема оценивания неопределенности, установленная GUM, принята многими организациями, нашла широкое практическое применение, используется в стандартах и руководствах, в которых рассматриваются вопросы оценки неопределенности измерения, и реализована в программных средствах.
5.7 Условия применимости способа оценивания по GUM в случае линейной модели
5.7.2 Интервал охвата может быть определен в соответствии с GUM при выполнении следующих условий:
5.8 Условия применимости способа оценивания неопределенности по GUM для нелинейных моделей
5.8.1 Закон трансформирования неопределенностей может быть применен для нелинейных моделей при выполнении следующих условий:
b) условие а) справедливо в отношении производных всех порядков, используемых в законе трансформирования неопределенностей;
Примечание 5 - Если требуемое для существенно нелинейной функции измерения аналитическое определение частных производных высших порядков представляет трудности или может привести к ошибкам, то допускается применение методов численного дифференцирования с использованием соответствующего программного обеспечения. Как вариант, частные производные могут быть аппроксимированы численно методом конечных разностей [5]. (В GUM приведена формула конечно-разностной аппроксимации для вычисления частных производных первого порядка [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (примечание 2 к 5.1.3)].) Однако следует соблюдать осторожность, оперируя конечными разностями для близких значений функции, поскольку погрешности округления чисел при использовании арифметики с конечной точностью способны привести к значительным ошибкам в расчетах.
5.8.2 Интервал охвата может быть определен в соответствии с GUM, если выполнены условия а), b) и с), установленные в 5.7.2, а примечание 3 из 5.8.1 заменено на следующее: "Условие с) необходимо для того, чтобы интервал охвата мог быть определен из распределений этих величин".
5.8.3 Если условия 5.8.1 или 5.8.2 выполнены (что справедливо для многих практических ситуаций), то этого обычно достаточно для корректного применения способа оценивания неопределенности по GUM.
5.9 Метод Монте-Карло для этапов трансформирования распределений и получения окончательных результатов
5.9.3 Математическое ожидание и дисперсия (а также более высокие моменты распределения) могут быть определены непосредственно по выборке на выходе модели. Для определения интервала охвата необходимо предварительно эту выборку упорядочить.
Рисунок 4 - Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов оценивания неопределенности методом Монте-Карло
Примечание 1 - Формирование выборки из распределений вероятностей рассматривается в 6.4 и в приложении С.
5.10 Условия применимости метода Монте-Карло
5.10.1 Применение метода Монте-Карло для трансформирования распределений с получением результатов оценивания неопределенности требует выполнения следующих условий:
1) непрерывна на интервале, где ее значения строго положительны,
2) унимодальна (т.е. имеет единственный максимум),
3) равна нулю или монотонно возрастает слева от моды и монотонно убывает или равна нулю справа от моды;
Примечание 1 - В отличие от требования а) непрерывности самой функции измерения никаких условий на производные этой функции не налагается.
Примечание 2 - Условия а) и b) обеспечивают однозначность функции обратной функции распределения и, следовательно, позволяют определить интервал охвата. Если определение интервала охвата не требуется, то необходимым является только условие а).
Примечание 3 - Условие с) необходимо только в случае определения наименьшего интервала охвата. Тогда условие с) обеспечивает единственность наименьшего интервала охвата, соответствующего заданной вероятности охвата. Если мода является граничной точкой интервала, на котором плотность распределения вероятностей отлична от нуля, то одно из двух условий перечисления 3) является лишним.
Примечание 5 - Условие е) необходимо для обеспечения достоверности результатов оценивания неопределенности (см. 8.2).
5.10.2 Если условия, указанные в 5.10.1, выполнены, то результаты оценивания неопределенности с использованием метода Монте-Карло можно считать достоверными. Эти условия менее жесткие, чем те, выполнение которых необходимо для оценивания неопределенности по GUM (см. 5.7 и 5.8).
5.11 Сравнение способов оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло
5.11.1 Целью подраздела является сравнение принципов, лежащих в основе оценивания неопределенности по GUM и методом Монте-Карло, используемого для преобразования распределений. В настоящем подразделе приведены некоторые обоснования использования метода Монте-Карло в условиях, когда обоснованность применения способа оценивания неопределенности по GUM остается неясной.
5.11.2 Для сравнения способа оценивания неопределенности по GUM с методом Монте-Карло полезно сделать обзор основных положений GUM, касающихся оценок неопределенности типов А и В. При определении оценки неопределенности типа A GUM позволяет получить наилучшую оценку величины и соответствующей стандартной неопределенности в виде среднего арифметического и выборочного стандартного отклонения, полученных на основе независимых наблюдений. При определении оценки неопределенности типа В используют априорные знания о величине для описания с ее помощью плотности распределения вероятностей, на основе которых определяют наилучшую оценку величины и соответствующую стандартную неопределенность. В соответствии с GUM оба типа оценок основаны на использовании распределений вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.3.4)] и общепризнанных интерпретаций вероятности [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.3.5)]. В подходе GUM оценивание неопределенности подразумевает трансформирование распределений вероятностей, поскольку входной и выходной величинам в нем ставятся в соответствие случайные величины, обладающие своими распределениями вероятностей [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (G.6.6)] (см. также 5.1.2).
5.11.3 В методе оценивания неопределенности по GUM плотность распределения вероятностей выходной величины в явном виде не определяют. Ссылки настоящего стандарта при рассмотрении подхода GUM на распределение выходной величины исходят из того, что существование такого распределения обусловлено смыслом процедуры оценивания.
5.11.4 Метод, устанавливаемый настоящим стандартом, в максимально возможной степени совместим с GUM, особенно в отношении использования плотностей распределения вероятностей для описания всех входящих в модель измерения величин, но может отличаться от него в следующем:
5.11.6 Метод Монте-Карло обладает следующими преимуществами:
a) сокращаются аналитические расчеты в случае более сложных или нелинейных моделей, особенно вследствие того, что не требуется определение частных производных первого или более высоких порядков, необходимых для оценки коэффициентов чувствительности в соответствии с законом трансформирования неопределенности;
е) для определения интервала охвата не требуется использования коэффициента охвата [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (2.3.6)].
6 Плотности распределения вероятностей входных величин
6.1 Общие положения
Примечание - В некоторых случаях выбор приписываемой плотности распределения вероятностей может быть основан на иных соображениях. Но всегда должны быть зафиксированы основания, положенные в основу этого выбора.
Примечание - В ряде случаев от всех или некоторых зависимостей между входными величинами можно избавиться посредством их замены на другие переменные величины [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (F.1.2.4, Н.1.2)]. Такая замена может упростить как применение закона трансформирования неопределенностей, так и закона трансформирования распределений. Более подробно этот вопрос с иллюстрацией примерами рассмотрен в [15].
6.1.6 В настоящем стандарте не приводятся подробные рекомендации по выбору плотностей распределения вероятностей индивидуальных или совместных. Вид выбранной плотности распределения вероятностей в неявном виде включает в себя знания и практический опыт метролога, составляющего модель измерения, который в конечном счете несет ответственность за качество конечных результатов.
6.1.7 Справочным руководством по видам распределения вероятностей может служить [18].
6.2 Теорема Байеса
6.2.2 В соответствии с теоремой Байеса для уточнения плотности распределения вероятностей используют произведение априорной плотности распределения вероятностей на функцию правдоподобия [20]. Функция правдоподобия в случае независимых наблюдений является произведением значений плотностей распределения вероятностей (например, гауссовых с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией) для полученных наблюдений. Апостериорную плотность распределения вероятностей получают интегрированием произведения априорной плотности распределения вероятностей и функции правдоподобия по всем возможным значениям дисперсии с последующей нормировкой.
Примечание 2 - Теорема Байеса может быть также применена для разных предположений о виде распределения наблюдаемых случайных величин, например, когда их неизвестные математическое ожидание и стандартное отклонение полагают равными между собой.
6.3 Принцип максимума энтропии
6.3.1 При использовании принципа максимума энтропии, введенного Джейнсом [25], выбирают единственную плотность распределения вероятностей из всех возможных распределений с заданными свойствами, например заданными центральными моментами различного порядка или заданными интервалами, на которых плотность распределения вероятностей не равна нулю. Этот метод особенно полезен для выбора плотности распределения вероятностей величин, для которых данные наблюдений недоступны, или величин, которые невозможно измерить.
6.4 Выбор плотности распределения в некоторых типичных условиях
6.4.1 Общие положения
Сведения, приведенные в 6.4.2-6.4.11, и графическое представление распределений, к которым эти сведения относятся, собраны в таблице 1.
Таблица 1 - Информация о случайной величине и вид соответствующей плотности распределения вероятностей
|
|
|
|
Информация о величине | Распределение вероятностей | Пункт | |
Нижняя и верхняя границы:  ,  | Равномерное  |  | 6.4.2 |
Неточно известные нижняя и верхняя границы:  ,  | Криволинейно-трапецеидальное  |  | 6.4.3 |
Сумма двух равномерно распределенных величин с границами (  ,  ) и (  ,  ) соответственно | Трапецеидальное  ;  ,  ,  |  | 6.4.4 |
Сумма двух равномерно распределенных величин с границами ( , ) и ( , ) и равной длиной носителя | Треугольное  ; , |  | 6.4.5 |
Гармоническое колебание между нижней ( ) и верхней ( ) границами | Арксинусное (U-образное)  |  | 6.4.6 |
Наилучшая оценка  и ее стандартная неопределенность | Нормальное (гауссово)  |  | 6.4.7 |
Наилучшая оценка векторной величины и соответствующая матрица неопределенности  | Многомерное нормальное (гауссово)  |
| 6.4.8 |
Выборка независимых наблюдений  , ...,  из нормального распределения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией | -распределение (Стьюдента);  ;  ,  |  | 6.4.9.2 |
Наилучшая оценка , расширенная неопределенность , коэффициент охвата  , число эффект. степеней свободы  | -распределение (Стьюдента);  |  | 6.4.9.7 |
Наилучшая оценка неотрицательной величины | Экспоненциальное  |  | 6.4.10 |
Число  подсчитанных объектов в выборке | Гамма-распределение  |  | 6.4.11 |
Примечание - Графики плотностей распределения вероятностей в таблице 1 даны без соблюдения масштаба. График многомерного нормального распределения не показан. | |||
6.4.2 Равномерное (прямоугольное) распределение
6.4.3 Равномерное распределение с неточно известными границами
Примечание - Формула (3) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:
и
6.4.4 Трапецеидальное распределение
где
Примечание - Формула (7) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:
6.4.5 Треугольное распределение
Примечание - Формула (8) может быть представлена в следующем виде, удобном для программирования:
6.4.6 Арксинусное (U-образное) распределение
Примечание - Посредством замены переменной
Это частный случай бета-распределения, когда оба параметра распределения равны одной второй.
6.4.7 Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Для получения доступа к полной версии без ограничений вы можете выбрать подходящий тариф или активировать демо-доступ.