Рекомендации по стандартизации Р 50.1.098-2014 Статистические методы. Определение и использование линейных функций при калибровке.
Р 50.1.098-2014
Группа Т59
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ
Статистические методы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ КАЛИБРОВКЕ
Statistical methods. Determination and use of straight-line calibration functions
ОКС 03.120.30
Дата введения 2015-12-01
Предисловие
1 ПОДГОТОВЛЕНЫ Открытым акционерным обществом "Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем" (АО "НИЦ КД") на основе собственного аутентичного перевода на русский язык международного документа, указанного в пункте 4
2 ВНЕСЕНЫ Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Применение статистических методов"
3 УТВЕРЖДЕНЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 24 октября 2014 г. N 1418-ст
4 Настоящие рекомендации идентичны международному документу ISO/TS 28037:2010* "Определение и использование линейных функций при калибровке" (ISO/TS 28037:2010 "Determination and use of straight-line calibration functions").
Наименование настоящих рекомендаций изменено относительно наименования указанного международного документа для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5-2012 (подраздел 3.5).
При применении настоящих рекомендаций рекомендуется использовать вместо ссылочных международных стандартов соответствующие им национальные стандарты Российской Федерации, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА
5 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ
Правила применения настоящих рекомендаций установлены в ГОСТ Р 1.0-2012 (раздел 8). Информация об изменениях к настоящим рекомендациям публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе "Национальные стандарты", а официальный текст изменений и поправок - в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящих рекомендаций соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (gost.ru)
Введение
На основе информации о неопределенности результатов измерений может быть установлен метод определения оценок параметров калибровочной функции. Информация о неопределенности может включать количественные оценки ковариаций, относящиеся к зависимым или всем величинам.
Как только подобрана линейная модель, наилучшим образом соответствующая результатам измерений и требованию состоятельности модели, ее можно использовать для прогноза значения x величины X, соответствующей результату измерения величины Y, полученному с помощью измерительной системы. Калибровочную функцию также можно использовать для оценки неопределенности параметров калибровочной функции и неопределенности прогнозируемого значения x.
Определение и использование линейной калибровочной функции состоят из пяти этапов:
1 Получение информации о неопределенности и ковариации данных результатов измерений. (В рекомендациях приведены соответствующие примеры.)
2 Определение наилучших оценок параметров линейной калибровочной функции.
4 Определение стандартной неопределенности и ковариации оценок параметров прямой.
5 Использование калибровочной функции для прогноза, т.е. определение оценки x величины X и ее неопределенности, соответствующих результату y величины Y и ее неопределенности.
Упомянутые этапы показаны в виде схемы на рисунке 1.
Приведенные численные методы основаны на [6].
Главной целью настоящих рекомендаций является рассмотрение этапов 2-5. Поэтому при использовании настоящих рекомендаций на этапе 1 пользователь должен определить стандартные неопределенности и ковариации, соответствующие результатам измерений величин X и Y. Следует использовать принцип GUM при оценке неопределенности на основе модели измерений, определенной для рассматриваемой области.
В ИСО 11095:1996 (см. [14]) рассмотрены вопросы линейной калибровки с использованием образцов сравнения. Отличия ИСО 11095:1996 от настоящих рекомендаций приведены в таблице 1.
Настоящие рекомендации могут быть полезны при разработке методик измерений и алгоритмов обработки данных при создании новых средств измерений.
Рисунок 1 - Этапы определения и использования линейных калибровочных функций
Таблица 1 - Отличия ИСО 11095:1996 и настоящих рекомендаций
Характеристика | ИСО 11095:1996 | Настоящие рекомендации |
Использование специальных образцов сравнения | Да | Более общий случай |
Значения X предполагают известными точно | Да | Более общая информация о неопределенности |
Все результаты измерений получены независимо | Да | Более общая информация о неопределенности |
Соответствие терминологии GUM | Нет | Да |
Рассматриваемые типы неопределенности | Два | Пять, включая наиболее общий случай |
Только неопределенность, связанная со случайными ошибками | Да | Более общая информация о неопределенности |
Проверка сходимости | ANOVA | Критерий |
Неопределенность, соответствующая прогнозируемым значениям | Специальный случай | В соответствии с GUM |
1 Область применения
В настоящих рекомендациях рассмотрены линейные калибровочные функции, описывающие взаимосвязь переменных X и Y, а именно, функции вида Y=A+BX. Несмотря на то, что многие из положений, установленных в настоящих рекомендациях, применимы и к более общим видам калибровочной функции, в настоящих рекомендациях везде, где это возможно, использована линейная калибровочная функция.
Для оценки параметров A и B использован метод наименьших квадратов, наиболее подходящий для конкретного вида исходных данных с соответствующей неопределенностью. Рассмотрен самый общий вид ковариационной матрицы результатов измерений, а также подробно описаны ситуации, которые приводят к более простым вычислениям.
Для рассмотренных случаев приведены методы валидации линейной калибровочной функции и оценки неопределенностей и ковариации параметров калибровочной функции.
В рекомендациях также описано использование оценок параметров калибровочной функции и соответствующих им неопределенностей и ковариаций для прогнозирования значения X и соответствующей стандартной неопределенности для заданного измеренного значения Y и соответствующей ему стандартной неопределенности.
Примечание 1 - В рекомендациях не приведена общая обработка выбросов по данным результатов измерений, хотя приведенные критерии могут быть использованы для идентификации несоответствующих данных.
Примечание 2 - В рекомендациях использован метод оценки неопределенности результатов измерений в случае, когда эта неопределенность известна с точностью до неизвестного коэффициента (см. приложение E).
2 Нормативные ссылки
В настоящих рекомендациях использованы нормативные ссылки на следующие документы*:
Руководство ИСО/МЭК 99:2007 Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM) [ISO/IEC Guide 99:2007 International vocabulary of metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM)]
Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерений (GUM:1995) [ISO/IEC Guide 98-3:2008, Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995)]
Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерений (GUM:1995). Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло [ISO/IEC Guide 98-3:2008/Supplement 1:2008, Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) - Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method]
3 Термины и определения
В настоящих рекомендациях применены термины по Руководству ИСО/МЭК 98-3 и Руководству ИСО/МЭК 99, а также следующие термины с соответствующими определениями.
Перечень использованных обозначений приведен в приложении G.
3.1 измеренное значение величины (measured quantity value): Значение, представляющее собой результат измерения величины.
[Руководство ИСО/МЭК 99:2007, 2.10]
3.2 неопределенность измерения (measurement uncertainty): Неотрицательный параметр, характеризующий разброс значений случайной величины, приписываемых ей на основе имеющейся информации об измеряемой величине.
[Руководство ИСО/МЭК 99:2007, 2.26]
3.3 стандартная неопределенность измерения (standard measurement uncertainty): Неопределенность результатов измерений, выраженная в виде стандартного отклонения.
[Руководство ИСО/МЭК 99:2007, 2.30]
3.4 ковариация двух количественных величин (covariance associated with two quantity values): Характеристика взаимозависимости двух количественных величин, которым на основе имеющейся информации, приписывают две измеряемые величины.
Примечание 2 - Ковариацию называют взаимной неопределенностью.
Примечание 3 - Ковариационную матрицу также называют дисперсионно-ковариационной матрицей.
Примечание 4 - Определение соответствует Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008, определение 3.11 (см. [13]).
3.6 модель измерений (measurement model): Математическая связь всех величин в измерительной задаче.
[Руководство ИСО/МЭК 99:2007, 2.48]
3.7 функциональная модель (functional model): Статистическая модель, включающая ошибки, соответствующие зависимой переменной.
3.8 структурная модель (structural model): Статистическая модель, включающая ошибки, соответствующие независимым и зависимым величинам.
3.9 калибровка (calibration): Операция, в ходе которой при заданных условиях на первом этапе устанавливают соотношение между значениями величин с неопределенностями измерений, которые обеспечивают эталоны, и соответствующими показаниями средства измерений с присущими им неопределенностями, а на втором этапе на основе этой информации устанавливают соотношение, позволяющее получать результат измерения, исходя из показаний.
Примечание 1 - Калибровка может быть выражена в виде состояния, калибровочной функции, диаграммы или таблицы. В некоторых случаях она может состоять из общей или мультипликационной поправки показаний с соответствующей неопределенностью измерений.
Примечание 2 - Калибровку не следует путать с регулировкой измерительной системы, часто по ошибке называемой самокалибровкой, а также с верификацией калибровки.
Примечание 3 - Часто под калибровкой понимают только первый этап, указанный в приведенном определении.
[Руководство ИСО/МЭК 99:2007, 2.39]
3.10 распределение вероятностей (probability distribution): Функция (случайной величины), характеризующая вероятность того, что случайная величина принимает данное значение или принадлежит заданному набору значений.
Примечание 1 - Вероятность, соответствующая всему набору значений случайной величины равна 1.
Примечание 2 - Распределение вероятностей называют одномерным, если оно описывает единственную (скалярную) случайную величину, или многомерным, если оно описывает вектор случайных величин. Многомерное распределение вероятностей описывают так же как совместное распределение.
Примечание 3 - Распределение вероятностей может иметь форму функции распределения или плотности распределения.
Примечание 4 - Определения и примечание 1 адаптированы по ИСО 3534-1:1993, определение 1.3, и Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008, определение С.2.3; примечания 2 и 3 адаптированы по Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008, определение 3.1 (см.[13]).
Примечание 2 - Нормальное распределение также называют распределением Гаусса.
Примечание 3 - Определение и примечание 1 адаптированы по ИСО 3534-1:1993, определение 1.37, примечание 2 адаптировано по Руководству ИСО/МЭК 98-3:2008, определение С.2.14.
[Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008,3.5]
4 Пояснения к использованным обозначениям
В настоящих рекомендациях использованы следующие условные обозначения.
4.1 X - независимая величина, Y - зависимая величина, даже если X является неизвестной величиной, а Y - известной, как, например, в разделе 7.
4.2 A и B называют параметрами линейной калибровочной функции Y=A+BX. Их также используют для обозначения (фиктивных) переменных в выражениях, включающих параметры калибровочной функции.
4.4 Константы A* и B* представляют собой (неизвестные) значения A и B, которые определяют линейную калибровочную функцию Y=A*+B*X для рассматриваемой измерительной системы.
4.7 a и b - оценки параметров калибровочной функции измерительной системы.
Для облегчения понимания размерности вектора и матрицы далее всегда такие.
4.10 Т - означает операцию транспонирования.
4.11 Нулевая матрица обозначена 0, а единичный вектор обозначен 1.
4.12 Некоторые символы имеют более одного значения. Необходимые пояснения приведены в тексте.
4.13 Значения, приведенные в таблицах с одинаковым количеством десятичных разрядов, являются правильно округленными значениями чисел, сохраненными с более высокой точностью, как например, при вычислениях с применением электронных таблиц. Поэтому могут быть незначительные несовпадения между показанной суммой чисел и суммой чисел, показанной в колонке.
4.14 В некоторых таблицах выше колонки или колонок приведен номер подраздела, в котором приведена формула определения значений в соответствующем столбце.
4.15 В примерах для значений с заданной точностью результаты вычислений приведены с более высокой точностью, что позволяет пользователю сравнивать результаты при повторении вычислений.
5 Принципы линейной калибровки
5.1 Общие положения
5.1.2 Калибровка измерительной системы должна учитывать неопределенность результатов измерений и соответствующие ковариации. Результатом процедуры калибровки является калибровочная функция, которую используют для прогноза (и при необходимости, предварительной оценки). Результатами калибровки также являются стандартные неопределенности и ковариации, соответствующие оценкам a и b параметров калибровочной функции, которые используют для оценки стандартной неопределенности прогноза (и предварительной оценки).
5.2 Исходные данные для определения калибровочной функции
5.2.1 Данные измерений
Примечание - Неопределенность, соответствующая оценкам a и b, обычно уменьшается с увеличением m. Поэтому при калибровке следует стремиться использовать так много результатов измерений, как это экономически целесообразно.
5.2.2 Неопределенности и ковариации
Во многих приложениях некоторые или все ковариации принимают равными нулю (см. 5.3).
5.3 Определение калибровочной функции
ii) Ковариации, соответствующие парам результатов измерений, являются несущественными?
5.3.2 Следующие ситуации, рассмотренные в настоящих рекомендациях, приведены в соответствии с возрастающим порядком сложности в зависимости от ответов на вопросы, приведенные в 5.3.1.
5.3.3 В каждом случае, перечисленном в 5.3.2 указаны:
a) установленные результаты измерений и структура неопределенности;
b) соответствующая статистическая модель;
c) соответствующая задача метода наименьших квадратов;
d) этапы вычислений;
e) свойства статистической модели;
f) валидация модели (проверка соответствия модели данным);
g) организация выполнения расчетов на компьютере;
h) алгоритм вычислений;
i) один или несколько примеров.
5.4 Числовая обработка
В приложении C приведен подход, использующий ортогональное разложение (факторизацию) матрицы U для наиболее общего случая e) в 5.3.2. Он может быть использован при рассмотрении всех ситуаций. Подход основан на устойчивых методах вычислений. В случаях a)-c) 5.3.2 могут быть использованы элементарные операции, которые могут быть выполнены с помощью электронных таблиц. В случаях d)-e) 5.3.2 необходимо использовать некоторые матричные операции, которые являются прямыми при применении компьютерного языка, допускающего операции с матрицами, но не очень подходят для вычислений с использованием крупноформатных электронных таблиц.
5.5 Неопределенность и ковариация параметров калибровочной функции
Примечание - Если распространение неопределенности является приближенным и особенно, если неопределенности являются большими (например, в случаях биологических измерений), может быть использован подход, основанный на распространении распределений. Этот подход [Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008] использует метод Монте-Карло (не рассматриваемый в настоящих рекомендациях).
где u(a) и u(b) - стандартные неопределенности оценок a и b соответственно, а cov(a, b)=cov(b, a) - ковариация оценок a и b.
5.6 Валидация модели
5.6.3 Для получения лучших результатов калибровки желательно, чтобы неопределенность исходных данных была получена до определения параметров калибровочной функции, а не оценена при определении соответствия данных выбранной модели или известна с точностью до коэффициента масштаба. Такая ситуация рассмотрена в приложении E.
5.7 Использование калибровочной функции
5.7.1 Калибровочную функцию, как правило, используют для прогноза (обратная оценка), когда по заданному значению Y и соответствующей ему стандартной неопределенности, определяют значение X и соответствующую ему стандартную неопределенность. При определении оценки стандартной неопределенности X используют стандартные неопределенности оценок a и b, а также их ковариацию (см. 11.1).
5.7.2 Иногда при определении оценки X и ее неопределенности, соответствующей значению Y с соответствующей стандартной неопределенностью, необходима предварительная оценка, например, при сопоставлении данных калибровки с набором аналогичных методов (см. 11.2).
Примечание - Предполагается, что условия, в которых были выполнены измерения, поддерживались во время проведения калибровки и распространяются на период применения калибровочной функции, впоследствии. В противном случае должны быть выполнены новая калибровка или соответствующее регулирование и учтены все изменения, такие как дрейф (и соответствующим образом обработаны неопределенности). С этой целью могут быть использованы контрольные карты.
5.8 Определение наилучшей прямой
5.8.1 Наилучшей прямой, соответствующей исходным данным согласно методу наименьших квадратов, является прямая с коэффициентами a и b (оценками параметров A и B), которые минимизируют сумму
Эти значения удовлетворяют уравнениям, полученным приравниванием к нулю частных производных первого порядка по A и B выражения (2).
5.8.2 Значения оценок a и b могут быть вычислены при выполнении следующих действий:
5.8.4 Методы, описанные в разделах 6-10, представляют собой расширения вычислений, представленных в 5.8.2 с учетом информации о неопределенности.
6.1 Общие положения
6.1.1 В данном разделе рассмотрена ситуация 5.3.2 а), а именно, когда имеется следующая информация для i=1, ..., m:
В приложении D приведено руководство по получению неопределенности. Все другие неопределенности и ковариации, соответствующие данным, предполагаются несущественными.
6.1.2 Ситуация 5.3.2 a) соответствует статистической модели
6.1.3 В качестве оценок a и b определяют значения, минимизирующие по A и B взвешенную сумму квадратов
Эта задача (4) является методом взвешенных наименьших квадратов. Искомые оценки определяют из уравнений, полученных приравниванием к нулю частных производных первого порядка выражения по A и B (4).
6.2 Оценки параметров калибровки и соответствующие стандартные неопределенности и ковариации
Оценки a и b определяют, выполняя вычисления 1-5, затем вычисляют стандартные неопределенности u(a) и u(b) и ковариацию cov(a, b) (вычисление 6):
Примечание 1 - Вычисления 1-5 эквивалентны следующим:
Примечание 2 - В процессе вычислений 1-5 определяют решение системы уравнений (метод наименьших квадратов)
2) Оценки a и b можно рассматривать, как реализации случайных величин с математическими ожиданиями A* и B* соответственно.
6.3 Валидация модели
6.4 Организация вычислений
Вычисления в 6.2.1 и 6.3 могут быть выполнены в одной или двух таблицах при использовании электронных таблиц, в соответствии с таблицами 2 и 3, которые могут быть объединены в одну таблицу.
Таблица 2 - Данные для определения линейной калибровочной функции методом взвешенных наименьших квадратов
| | |
 |  |  |
 |  |  |
 | | |
 |  |  |
Таблица 3 - Организация вычислений для определения линейной калибровочной функции методом взвешенных наименьших квадратов
|
|
|
| 6.2.1, вычисление 2, 3 |
| 6.2.1, вычисление 5 6.3, вычисление 7 | 6.3, вычисление 8 |
| |
|
|
|
|  |  |
|
| a |
|
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| | | | | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |
|
|  |  | b |  |
Таблица 4 - Данные, представляющие результаты шести измерений с равными весами
| | |
1,0 | 3,3 | 0,5 |
2,0 | 5,6 | 0,5 |
3,0 | 7,1 | 0,5 |
4,0 | 9,3 | 0,5 |
5,0 | 10,7 | 0,5 |
6,0 | 12,1 | 0,5 |
Таблица 5 - Вычисления на основе данных таблицы 4
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|
|
|
| 3,500 | 8,017 |
|
| a=1,867 |
|
2,000 | 4,000 | 4,000 | 13,200 | -5,000 | -9,433 | 25,000 | 47,167 | -0,648 | 0,419 |
2,000 | 4,000 | 8,000 | 22,400 | -3,000 | -4,833 | 9,000 | 14,500 | 0,438 | 0,192 |
2,000 | 4,000 | 12,000 | 28,400 | -1,000 | -1,833 | 1,000 | 1,833 | -0,076 | 0,006 |
2,000 | 4,000 | 16,000 | 37,200 | 1,000 | 2,567 | 1,000 | 2,567 | 0,810 | 0,655 |
2,000 | 4,000 | 20,000 | 42,800 | 3,000 | 5,367 | 9,000 | 16,100 | 0,095 | 0,009 |
2,000 | 4,000 | 24,000 | 48,400 | 5,000 | 8,167 | 25,000 | 40,833 | -0,619 | 0,383 |
| 24,000 | 84,000 | 192,400 |
|
| 70,000 | 123,000 | b=1,757 | 1,665 |
Стандартная неопределенность и ковариация, соответствующие параметрам прямой, могут быть вычислены на основе формулы, приведенной в 6.2.1 и данных таблицы 5:
cov(a, b)=-3,500/70,000=-0,050.
Рисунок 2 - Данные таблицы 4 и линейная калибровочная функция, полученная в таблице 5
Таблица 6 - Данные, представляющие шесть результатов измерений (неравные веса)
| | |
1,0 | 3,2 | 0,5 |
2,0 | 4,3 | 0,5 |
3,0 | 7,6 | 0,5 |
4,0 | 8,6 | 1,0 |
5,0 | 11,7 | 1,0 |
6,0 | 12,8 | 1,0 |
Таблица 7 - Вычисления для данных таблицы 6
| | | | | | | | | |
|
|
|
| 2,600 | 6,233 |
|
| a=0,885 |
|
2,000 | 4,000 | 4,000 | 12,800 | -3,200 | -6,067 | 10,240 | 19,413 | 0,516 | 0,266 |
2,000 | 4,000 | 8,000 | 17,200 | -1,200 | -3,867 | 1,440 | 4,640 | -1,398 | 1,955 |
2,000 | 4,000 | 12,000 | 30,400 | 0,800 | 2,733 | 0,640 | 2,187 | 1,088 | 1,183 |
1,000 | 1,000 | 4,000 | 8,600 | 1,400 | 2,367 | 1,960 | 3,313 | -0,513 | 0,263 |
1,000 | 1,000 | 5,000 | 11,700 | 2,400 | 5,467 | 5,760 | 13,120 | 0,530 | 0,281 |
1,000 | 1,000 | 6,000 | 12,800 | 3,400 | 6,567 | 11,560 | 22,327 | -0,427 | 0,182 |
| 15,000 | 39,000 | 93,500 |
|
| 31,600 | 65,000 | b=2,057 | 4,131 |
Стандартная неопределенность и ковариация, соответствующие параметрам прямой, могут быть вычислены, используя формулу, приведенную в 6.2.1 и данные таблицы 7:
cov(a, b)=-2,600/31,600=-0,082.
Данные и полученная линейная калибровочная функция показаны на рисунке 4. Взвешенные остатки показаны на рисунке 5.
Рисунок 4 - Данные таблицы 6 и линейная калибровочная функция, полученная в таблице 7
7.1 Общие положения
7.1.1 В данном разделе рассмотрена ситуация 5.3.2 b), когда имеется следующая информация для i=1, ..., m:
В приложении D приведено руководство по определению неопределенности. Все ковариации, соответствующие данным, считаются несущественными.
7.1.2 Ситуации 5.3.2 b) соответствует статистическая модель
7.1.5 Если
то сумма квадратов (8) эквивалентна
7.2 Оценки параметров, соответствующие стандартные неопределенности и ковариации
7.2.1 Оценки a и b определяют, выполняя вычисления 1-6, используя схему итерации, описанную в 7.1.6; стандартные неопределенности u(a) и u(b) и ковариацию cov(a, b) определяют, выполняя вычисления 7 (см. приложение В):
Примечание 1 - Вычисления 4 аналогичны вычислениям 1-5 в 6.2.1.
Примечание 6 - Строго говоря, остатки (см. вычисление 5) необходимы только на последующей итерации. Однако, в формате таблицы (таблица 9 в 7.4) остатки вычисляют на каждой итерации.
2) оценки a и b можно рассматривать как реализацию случайных величин, математические ожидания которых составляют приблизительно A* и B*, соответственно.
Приближения в 2) и 3) являются более точными для данных с меньшей неопределенностью. Однако метод оценки обладает следующими свойствами:
4) для данных, удовлетворяющих модели (5) с увеличением m, оценки a и b сходятся к A* и B*, соответственно (см. [16]).
Метод взвешенных наименьших квадратов недооценивает угловой коэффициент (см. [5]) для данных, соответствующих модели (5).
7.3 Валидация модели
7.4 Организация вычислений
|
|
|
| 7.2.1, шаги 1-5 | |||||
|
|
|
|
| 7.2.1, шаг 2 | 7.2.1, шаг 2 | 7.2.1, шаг 3 | ||
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|  | | |  |  |  |  | | |
|  | |  |  |  |  | | | |
| | | | | | | | | |
|  | | |  |  |  |  | | |
|
|
| 7.2.1, шаги 4 а), 4 b) |
| 7.2.1, шаги 4 е), 5 |
| 7.3, шаг 8 | |
|
|
| | |
|
| |
|
 |  |  |  |  |  |  | | |
 |  |  |  |  |  |  | | |
| | | | | | | | |
 |  |  |  |  |  |  | | |
 |  |  |
|
|  |  | |  |
Пример - В таблице 10 приведены шесть результатов измерений и соответствующие им стандартные неопределенности.
Таблица 10 - Шесть результатов измерений с соответствующими неопределенностями
|  | | |
1,2 | 0,2 | 3,4 | 0,2 |
1,9 | 0,2 | 4,4 | 0,2 |
2,9 | 0,2 | 7,2 | 0,2 |
4,0 | 0,2 | 8,5 | 0,4 |
4,7 | 0,2 | 10,8 | 0,4 |
5,9 | 0,2 | 13,5 | 0,4 |
Таблица 11 - Данные, представляющие шесть результатов измерений
| | |
1,2 | 3,4 | 0,2 |
1,9 | 4,4 | 0,2 |
2,9 | 7,2 | 0,2 |
4,0 | 8,5 | 0,4 |
4,7 | 10,8 | 0,4 |
5,9 | 13,5 | 0,4 |
| | | | | | | | | |
|
|
|
| 2,5733 | 6,1867 |
|
| a=0,6583 |
|
5,0000 | 25,0000 | 30,0000 | 85,0000 | -6,8667 | -13,9333 | 47,1511 | 95,6756 | 0,8186 | 0,6701 |
5,0000 | 25,0000 | 47,5000 | 110,0000 | -3,3667 | -8,9333 | 11,3344 | 30,0756 | -1,7006 | 2,8920 |
5,0000 | 25,0000 | 72,5000 | 180,0000 | 1,6333 | 5,0667 | 2,6678 | 8,2756 | 1,5577 | 2,4264 |
2,5000 | 6,2500 | 25,0000 | 53,1250 | 3,5667 | 5,7833 | 12,7211 | 20,6272 | -1,8791 | 3,5310 |
2,5000 | 6,2500 | 29,3750 | 67,5000 | 5,3167 | 11,5333 | 28,2669 | 61,3189 | 0,1113 | 0,0124 |
2,5000 | 6,2500 | 36,8750 | 84,3750 | 8,3167 | 18,2833 | 69,1669 | 152,0564 | 0,4163 | 0,1733 |
| 93,7500 | 241,2500 | 580,0000 |
|
| 171,3083 | 368,0292 | b=2,1483 | 9,7052 |
Стандартная неопределенность и ковариация (7.2.1 вычисления 7), соответствующие этим параметрам, могут также быть оценены по данным таблицы 18:
cov(a, b)=-3,1414/54,4271=-0,0577.
| | | |  | |  | | | |
|
|
|
| 0,6583 | 2,1483 |
|
|
|
|
1,2000 | 0,2000 | 3,4000 | 0,2000 | 4,4522 | 1,2626 | 0,1637 | 2,1100 | 2,6642 | 0,3455 |
1,9000 | 0,2000 | 4,4000 | 0,2000 | 4,4522 | 1,7699 | -0,3401 | 2,1100 | 3,7345 | -0,7176 |
2,9000 | 0,2000 | 7,2000 | 0,2000 | 4,4522 | 3,0192 | 0,3116 | 2,1100 | 6,3706 | 0,6575 |
4,0000 | 0,2000 | 8,5000 | 0,4000 | 2,9019 | 3,8126 | -0,7515 | 1,7035 | 6,4947 | -1,2802 |
4,7000 | 0,2000 | 10,8000 | 0,4000 | 2,9019 | 4,7111 | 0,0447 | 1,7035 | 8,0253 | 0,0761 |
5,9000 | 0,2000 | 13,5000 | 0,4000 | 2,9019 | 5,9416 | 0,1667 | 1,7035 | 10,1214 | 0,2840 |
 | |  |  |  |  |  | |  |
|
|
| 3,1239 | -0,0437 |
|
| =-0,0784 |
|
4,4522 | 5,6216 | 0,7290 | -3,9273 | 0,4378 | 15,4236 | -1,7193 | 0,4814 | 0,2318 |
4,4522 | 7,8799 | -1,5141 | -2,8570 | -0,6253 | 8,1623 | 1,7864 | -0,5935 | 0,3523 |
4,4522 | 13,4422 | 1,3874 | -0,2209 | 0,7498 | 0,0488 | -0,1656 | 0,7523 | 0,5659 |
2,9019 | 11,0636 | -2,1807 | 1,1732 | -1,2057 | 1,3764 | -1,4145 | -1,2187 | 1,4852 |
2,9019 | 13,6710 | 0,1297 | 2,7038 | 0,1506 | 7,3108 | 0,4073 | 0,1206 | 0,0145 |
2,9019 | 17,2416 | 0,4838 | 4,7999 | 0,3585 | 23,0387 | 1,7208 | 0,3052 | 0,0931 |
22,0622 | 68,9199 | -0,9648 |
|
| 55,3606 | 0,6152 | =0,0111 | 2,7429 |
Таблица 15 - Вторая итерация (таблица, аналогичная таблице 13)
| | | | | | | | | |
|
|
|
| 0,5799 | 2,1594 |
|
|
|
|
1,2000 | 0,2000 | 3,4000 | 0,2000 | 4,4146 | 1,2873 | 0,2289 | 2,1011 | 2,7047 | 0,4808 |
1,9000 | 0,2000 | 4,4000 | 0,2000 | 4,4146 | 1,7922 | -0,2827 | 2,1011 | 3,7655 | -0,5941 |
2,9000 | 0,2000 | 7,2000 | 0,2000 | 4,4146 | 3,0365 | 0,3579 | 2,1011 | 6,3799 | 0,7519 |
4,0000 | 0,2000 | 8,5000 | 0,4000 | 2,8858 | 3,8212 | -0,7175 | 1,6988 | 6,4913 | -1,2189 |
4,7000 | 0,2000 | 10,8000 | 0,4000 | 2,8858 | 4,7177 | 0,0709 | 1,6988 | 8,0142 | 0,1205 |
59000 | 0,2000 | 13,5000 | 0,4000 | 2,8858 | 5,9448 | 0,1796 | 1,6988 | 10,0988 | 0,3051 |
Таблица 16 - Вторая итерация (таблица, аналогичная таблице 14)
| | | | | | | | |
|
|
| 3,1412 | -0,0003 |
|
| =-0,0010 |
|
4,4146 | 5,6827 | 1,0103 | -3,8953 | 0,4814 | 15,1734 | -1,8751 | 0,4823 | 0,2326 |
4,4146 | 7,9117 | -1,2482 | -2,8344 | -0,5935 | 8,0339 | 1,6822 | -0,5928 | 0,3514 |
4,4146 | 13,4047 | 1,5798 | -0,2201 | 0,7524 | 0,0484 | -0,1656 | 0,7525 | 0,5662 |
2,8858 | 11,0271 | -2,0706 | 1,1551 | -1,2184 | 1,3342 | -1,4074 | -1,2187 | 1,4852 |
2,8858 | 13,6143 | 0,2046 | 2,6781 | 0,1209 | 7,1720 | 0,3238 | 0,1203 | 0,0145 |
2,8858 | 17,1555 | 0,5183 | 4,7626 | 0,3056 | 22,6824 | 1,4553 | 0,3044 | 0,0927 |
21,9012 | 68,7961 | -0,0057 |
|
| 54,4443 | 0,0132 | =0,0002 | 2,7427 |
Таблица 17 - Третья итерация (таблица, аналогичная таблице 13)
| | | | | | | | | |
|
|
|
| 0,5788 | 2,1597 |
|
|
|
|
1,2000 | 0,2000 | 3,4000 | 0,2000 | 4,4138 | 1,2875 | 0,2296 | 2,1009 | 2,7050 | 0,4823 |
1,9000 | 0,2000 | 4,4000 | 0,2000 | 4,4138 | 1,7924 | -0,2822 | 2,1009 | 3,7657 | -0,5928 |
2,9000 | 0,2000 | 7,2000 | 0,2000 | 4,4138 | 3,0366 | 0,3582 | 2,1009 | 6,3795 | 0,7525 |
4,0000 | 0,2000 | 8,5000 | 0,4000 | 2,8855 | 3,8212 | -0,7174 | 1,6987 | 6,4909 | -1,2187 |
4,7000 | 0,2000 | 10,8000 | 0,4000 | 2,8855 | 4,7176 | 0,0708 | 1,6987 | 8,0137 | 0,1203 |
5,9000 | 0,2000 | 13,5000 | 0,4000 | 2,8855 | 5,9447 | 0,1792 | 1,6987 | 10,0980 | 0,3044 |
Таблица 18 - Вторая итерация (таблица, аналогичная таблице 14)
|  | | | | | | | |
|
|
| 3,1414 | 0,0000 |
|
| =0,0000 |
|
4,4138 | 5,6829 | 1,0133 | -3,8947 | 0,4823 | 15,1685 | -1,8785 | 0,4823 | 0,2327 |
4,4138 | 7,9113 | -1,2454 | -2,8340 | -0,5928 | 8,0315 | 1,6800 | -0,5928 | 0,3514 |
4,4138 | 13,4027 | 1,5809 | -0,2202 | 0,7525 | 0,0485 | -0,1657 | 0,7525 | 0,5662 |
2,8855 | 11,0258 | -2,0702 | 1,1548 | -1,2187 | 1,3335 | -1,4073 | -1,2187 | 1,4852 |
2,8855 | 13,6126 | 0,2043 | 2,6776 | 0,1203 | 7,1695 | 0,3220 | 0,1203 | 0,0145 |
2,8855 | 17,1531 | 0,5171 | 4,7619 | 0,3044 | 22,6756 | 1,4496 | 0,3044 | 0,0927 |
21,8977 | 68,7884 | 0,0000 |
|
| 54,4271 | 0,0001 | =0,0000 | 2,7427 |
Рисунок 6 - Данные таблицы 10 и полученная линейная калибровочная функция (см. таблицы 11-18)
Рисунок 7 - Взвешенные остатки, полученные в таблице 18
8.1 Общие положения
8.1.1 В данном разделе рассмотрена ситуация 5.3.2 с), когда имеется следующая информация для i=1, ..., m:
В приложении D приведено руководство по определению неопределенностей и ковариаций. Все другие ковариации, соответствующие данным, считаются несущественными.
8.1.2 Ситуации 5.3.2 с) соответствует статистическая модель
Матрица не зависит от других случайных величин.
8.2 Оценки параметров калибровочной функции и соответствующие стандартные неопределенности и ковариация
8.2.1 Алгоритмически данный случай является расширением (см. приложение B) обработки, приведенной в разделе 7. Вычисления в данном случае идентичны, приведенным в разделе 7, кроме того, что вычисления 2) в 7.2.1 должны быть заменены на следующие:
8.2.2 Все свойства, указанные в 7.2.2, применимы к данным, полученным в соответствии с моделью (10), остальную часть раздела 7 выполняют аналогично.
9.1 Общие положения
9.1.1 В данном разделе рассмотрена ситуация 5.3.2 d), когда имеется следующая информация для i=1, ..., m:
В приложении D приведено руководство по определению этой неопределенности и ковариаций. Все другие неопределенности и ковариации, соответствующие данным, считаются несущественными.
9.1.3 Ситуация 5.3.2 d) соответствует статистической модели
9.1.4 Оценки a и b минимизируют обобщенную сумму квадратов относительно A и B (см.[8])
где e=y-A1-Bx. Задача определения a и b в этом случае называется регрессионной задачей Гаусса-Маркова (см. [2]).
9.2 Оценки параметров калибровочной функции, соответствующих стандартной неопределенности и ковариации
9.2.2 Оценки параметров a и b определяют в соответствии с вычислениями 1-7, а стандартные неопределенности u(a) и u(b) и ковариацию cov(a, b) определяют в соответствии с вычислением 8:
2) оценки a и b можно рассматривать как реализации случайных величин, математические ожидания которых равны A* и B* соответственно.
Свойство перечисления 1) означает, что a и b получены методом линейной оценки. Свойство перечисления 2) означает, что полученные оценки являются несмещенными. Свойства перечислений 2) и 3) показывают сходимость полученных оценок, т.е. при увеличении m, оценки a и b стремятся к A* и B* соответственно.
Примечание 1 - Приведенные выше свойства относятся также к методу оценки взвешенных наименьших квадратов 6.1.3 для данных, соответствующих модели (3).
9.3 Валидация модели
9.4 Организация вычислений
Таблица 19 - Данные для линейной калибровочной функции Гаусса-Маркова
| |
| |
| |
| |
| |
Таблица 20 - Предварительные вычисления для применения метода Гаусса-Маркова
| 9.2.2 вычисления 1,2 |
|
| | |
| | |
 | | |
| | |
| | |
Таблица 21 - Организация вычислений для определения параметров линейной калибровочной функции методом Гаусса-Маркова
|
|
| 9.2.2 вычисления 4, 5 |
| 9.2.2, вычисления 7; 9.3, вычисления 9; |
| 9.3, вычисления 10 | |
|
|
| |  * |
|
| a |
|
| | | | | | | | |
 | | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | |
|
| | | b |  |
| |
1,0 | 1,3 |
2,0 | 4,1 |
3,0 | 6,9 |
4,0 | 7,5 |
5,0 | 10,2 |
6,0 | 12,0 |
7,0 | 14,5 |
8,0 | 17,1 |
9,0 | 19,5 |
10,0 | 21,0 |
Таблица 23 - Таблица предварительных вычислений соответствующих данным таблицы 22
| | |
0,7071 | 0,7071 | 0,9192 |
0,4082 | 1,2247 | 2,8169 |
0,2887 | 1,7321 | 4,4167 |
0,2236 | 2,2361 | 3,9578 |
0,1826 | 2,7386 | 5,6963 |
0,4472 | 2,6833 | 5,3666 |
0,1491 | 1,6398 | 3,6522 |
0,0925 | 1,8490 | 4,4284 |
0,0673 | 2,2198 | 5,3208 |
0,0529 | 2,6463 | 5,5360 |
Таблица 24 - Таблица вычислений для данных таблицы 22
| | | | | | | | |
|
|
| 4,1111 | 8,4044 |
|
| a=-0,6456 |
|
0,5000 | 0,5000 | 0,6500 | -2,1999 | -5,0236 | 4,8395 | 11,0514 | -0,1809 | 0,0327 |
0,1667 | 0,5000 | 1,1500 | -0,4536 | -0,6142 | 0,2058 | 0,2786 | 0,3844 | 0,1477 |
0,0833 | 0,5000 | 1,2750 | 0,5453 | 1,9906 | 0,2973 | 1,0854 | 0,7902 | 0,6245 |
0,0500 | 0,5000 | 0,8850 | 1,3168 | 2,0785 | 1,7340 | 2,7370 | -0,8202 | 0,6727 |
0,0333 | 0,5000 | 1,0400 | 1,9880 | 4,1619 | 3,9523 | 8,2739 | -0,2145 | 0,0460 |
0,2000 | 1,2000 | 2,4000 | 0,8447 | 1,6080 | 0,7136 | 1,3583 | -0,2516 | 0,0633 |
0,0222 | 0,2444 | 0,5444 | 1,0269 | 2,3994 | 1,0546 | 2,4640 | 0,1387 | 0,0192 |
0,0085 | 0,1709 | 0,4094 | 1,4689 | 3,6514 | 2,1578 | 5,3636 | 0,4177 | 0,1745 |
0,0045 | 0,1493 | 0,3579 | 1,9433 | 4,7555 | 3,7763 | 9,2412 | 0,4777 | 0,2282 |
0,0028 | 0,1401 | 0,2930 | 2,4287 | 5,0912 | 5,8986 | 12,3650 | -0,2552 | 0,0651 |
1,0714 | 4,4048 | 9,0048 |
|
| 24,6296 | 54,2185 | b=2,2014 | 2,0740 |
Стандартные неопределенности и ковариация, соответствующие a и b определены по данным таблицы 24 в соответствии с вычислениями 8 в 9.2.2:
cov(a, b)=-4,1111/24,6296=-0,1669.
Данные и полученная линейная калибровочная функция приведены на рисунке 8. Взвешенные остатки приведены на рисунке 9.
Рисунок 8 - Данные таблицы 22 и полученная линейная калибровочная функция
10.1 Общие положения
10.1.1 В данном разделе рассмотрена ситуация 5.3.2 е), т.е. наиболее общий случай, когда все результаты измерений имеют соответствующие неопределенности и ковариации. В приложении D приведено руководство по получению неопределенностей и ковариации.
10.1.2 Стандартные неопределенности и ковариации являются элементами ковариационной матрицы
10.1.3 Ситуация 5.3.2 е) соответствует статистической модели
10.1.4 Оценки a и b минимизируют обобщенную сумму квадратов
10.2 Оценки параметров калибровочной функции и соответствующие стандартные неопределенности и ковариации
10.2.2 Оценки a и b определяют в соответствии с вычислениями 1-10, используя итеративную схему, аналогичную приведенной в 6.2.1, стандартные неопределенности u(a) и u(b) и ковариацию cov(a, b), выполняя вычисления 11:
4) Определяют решение нижних треугольных систем
11) Представление матрицы M, полученной при выполнении вычислений в виде:
Решение этого матричного уравнения находят из нормальных уравнений
Примечание 5 - В матричной форме ковариационная матрица, соответствующая оценкам a и b, имеет вид:
Примечание 6 - Более общий и численно более устойчивый подход к решению обобщенной регрессионной задачи Гаусса-Маркова в общих чертах описан в С.2. Этот подход предполагает, что матрица U положительно определенная и не включает высоких корреляций.
2) Оценки a и b можно рассматривать как реализации случайных величин, математические ожидания которых приближенно равны A* и B*, соответственно.
Приведенные аппроксимации являются более точными для данных, имеющих меньшую неопределенность. Однако метод оценки обладает следующими свойствами:
4) Для данных, согласованных с моделью (13), при увеличении m оценки a и b сходятся к A* и B*, соответственно (см. [16]).
10.3 Валидация модели
| |
50,4 | 52,3 |
99,0 | 97,8 |
149,9 | 149,7 |
200,4 | 200,1 |
248,5 | 250,4 |
299,7 | 300,9 |
349,1 | 349,2 |
|  |  |  |  |  |
50,4000 | 17,2531 | 1,2580 | 3,0782 | 0,2904 | 50,5727 |
99,0000 | -43,1501 | -3,2145 | -6,3201 | -0,7101 | 98,5682 |
149,9000 | -29,1641 | -3,9604 | -3,8889 | -0,7564 | 149,6080 |
200,4000 | 2,9677 | -10,7629 | -0,6024 | -1,7165 | 200,4286 |
248,5000 | 24,0394 | -11,4064 | 3,2378 | -1,7064 | 248,7393 |
299,7000 | -22,2510 | -15,7767 | -3,3581 | -2,6110 | 299,4759 |
349,1000 | -20,6192 | -16,6217 | -3,3805 | -2,7429 | 348,8921 |
0,2707 | 7,5040 | -33,3957 | 0,1006 | -5,3019 | 0,3424 |
1,0011 | 0,0110 | 0,2113 | 0,0076 | 0,0337 | 1,0012 |
Наилучшими оценками A и B являются a=0,3424 и b=1,0012.
Стандартные неопределенности и ковариация, соответствующие a и b (см. вычисления 11 в 10.2.2):
11 Использование калибровочной функции
Использование калибровочной функции для прогноза и предварительной оценки не зависит от метода, используемого для оценки параметров калибровочной функции и соответствующих им стандартных неопределенностей и ковариации.
11.1 Прогноз
11.1.1 Предположим, что в соответствии с применением одного из разделов 6-10 установлено следующее:
a) оценки параметров прямой a и b и соответствующие им стандартные неопределенности u(a) и u(b) и ковариация cov(a, b);
b) результат измерения y величины Y и соответствующая стандартная неопределенность u(y).
Предположим, что результат измерения у получен независимо от данных результатов измерений, использованных при определении калибровочной функции.
11.1.2 Оценка x величины X, соответствующая у имеет вид:
11.1.3 Стандартную неопределенность u(x), соответствующую x, определяют следующим образом:
Примечание 2 - Для вычислительных целей может быть удобно матричное представление:
Примечание 3 - В случае b=0, когда наилучшей прямой является y=a (недопустимая калибровочная функция), прогноз невозможен.
Пример 1 - В соответствии с примером метода взвешенных наименьших квадратов с известными равными весовыми коэффициентами, приведенными в разделе 6, параметры наилучшей прямой и их стандартные неопределенности и ковариация имеют вид:
a=1,867, b=1,757, u(a)=0,465, u(b)=0,120, cov(a, b)=-0,050.
Пусть y=10,5 - результат дополнительного измерения Y, а u(y)=0,5 - соответствующая стандартная неопределенность.
В соответствии с 11.1.2 оценка x величины X, соответствующей y;
x=(10,5-1,867)/1,757=4,913.
В соответствии с 11.1.3 вычисления для определения стандартной неопределенности u(x) дают
c(a)=-1/1,867=-0,569,
c(y)=1/1,757=0,569,
Пример 2 - В соответствии с примером метода взвешенных наименьших квадратов с известными неравными весовыми коэффициентами, описанными в разделе 6, параметры наилучшей прямой и их стандартные неопределенности и ковариация имеют вид:
a=0,885, b=2,057, u(a)=0,530, u(b)=0,178, cov(a, b)=-0,082.
Пусть y=10,5 - результат дополнительного измерения Y, а u(y)=1,0 - его стандартная неопределенность.
Из 11.1.2 оценка значений x величины X, соответствующей у, имеет вид
x=(10,5-0,885)/2,057=4,674.
В соответствии с 11.1.3 вычисления для определения стандартной неопределенности u(x) дают
c(a)=-1/0,885=-0,486,
c(y)=1/2,057=0,486,
В этом примере и примере 1 в 11.1 заметно влияние различных неопределенностей y на неопределенность x.
11.2 Предварительная оценка
Предположим, что в соответствии с применением одного из разделов 6-10 установлено следующее:
a) оценки параметров прямой a и b, их стандартные неопределенности u(a) и u(b) и соответствующая им ковариация cov(a, b);
b) результат измерений x величины X и его стандартная неопределенность u(x).
Предположим, что значение x получено независимо от результатов измерений, использованных для установления калибровочной функции.
11.2.1 Оценка у величины Y, соответствующая значению x,
y=a+bx. (16)
11.2.2 Стандартную неопределенность u(y), соответствующую y, определяют при выполнении следующих вычислений:
c(a)=1, c(b)=x, c(x)=b,
Примечание 2 - В вычислительных целях может быть полезна матричная форма:
Пример - В соответствии с примером метода взвешенных наименьших квадратов с известными равными весовыми коэффициентами, приведенными в разделе 6, параметры наилучшей прямой, их стандартная неопределенность и ковариация имеют вид:
a=1,867, b=1,757, u(a)=0,465, u(b)=0,120, cov(a, b)=-0,050.
Пусть x=3,5 - результат дополнительного измерения X, а u(x)=0,2 - его стандартная неопределенность и пусть cov(x, a)=cov(x, b)=0, т.е. отсутствует корреляция x c a u x c b.
В соответствии с 11.2.1 оценка у величины Y, соответствующей x, имеет вид:
y=1,867+(1,757)(3,5)=8,017.
В соответствии с 11.2.2 стандартная неопределенность u(y) имеет вид:
Таким образом, u(y) =0,406.
Приложение A
(справочное)
Операции с матрицами
А.1 Общие положения
В данном приложении описаны основные математические операции с матрицами, использованные в настоящих рекомендациях.
А.2 Элементарные операции
Далее используются следующие обозначения:
А.2.1 Умножение матрицы на вектор
A.2.2 Операция умножения матрицы на матрицу
А.2.3 Транспонирование матрицы
А.2.4 Единичная матрица
А.2.5 Инверсия квадратной матрицы
________________
А.3 Элементарные определения
А.3.1 Симметричная матрица
А.3.2 Обратимая матрица
А.3.3 Нижняя треугольная и верхняя треугольная матрица
А.3.4 Ортогональная матрица
А.4 Факторизация (разложение на множители) Холецкого
А.4.1 Алгоритмы факторизации Холецкого
Инициализация
For k=1: m
For j=k: m
L(j, k): =U(j, k)
end
end
for k=2: m
for j=1: k-1
L(j, k): =0
end
end
Факторизация
For k=1: m
For j=k+1: m
L(j, k):=L(j, k)/L(k, k)
end
for j=k+1: m
for I=j: m
L(I, j):=L(I, j)-L(I, k) L(j, k)
end
end
end
А.4.1.2 Вычисления в соответствии с А.4.1.1 могут быть реорганизованы, для использования большего количества операций между векторами и повышения скорости выполнения программы на компьютерных языках, обеспечивающих выполнение действий с векторами. Например,
Инициализация
For j=1: m
L(j, 1: j): =U(j, 1: j)
end
for j=1: m-1
L(j, j+1: m): =0
end
Разложение на множители
для j=1: m,
if j>1
end
end
А.4.2 Интерпретация разложения Холецкого ковариационной матрицы
А.4.3 Решение нижней треугольной системы
Инициализация
For j=1: m
y(j): =x(j)
end
Решение
у(1):=у(1)/L(1,1)
for j=2: m
for k=1: j-1
y(j): =y(j)-L(j,k)y(k)
end
y(j): =y(j)-L(j,j)
end
Примечание - Для определения вектора x, соответствующего решению у, выполнять только действия этапа "Решение" алгоритма, приведенного в А.4.3.1, используя x вместо y.
А.4.4 Решение верхней треугольной системы
Инициализация
For j=1: m
y(j): =x(j)
end
Решение
y(m): =y(m)/L(m, m)
for j=j=m-1: - 1: 1
for k=j+1: m
y(j): =y(j)-L(k,j) y(k)
end
y(j): =y(j)/L(j,j)
end
Примечание - Для определения вектора x, соответствующего решению y, выполняют только действия этапа "Решение" алгоритма, приведенного в А.4.4.1, используя x вместо y.
А.5 Ортогональная факторизация
Ортогональные матрицы являются комбинациями вращений и отображений и имеют свойство, состоящее в том, что умножение вектора на ортогональную матрицу не изменяет длины вектора (квадратный корень из суммы квадратов элементов вектора). Столбцы ортогональной матрицы можно рассматривать как системы ортогональных осей. Важность методов ортогонального разложения состоит в том, что они позволяют решать матричные уравнения в цифровой форме устойчивым методом. Алгоритмы вычисления ортогонального разложения матрицы описаны в [1, 10, 20].
А.5.1 QR-факторизация
А.5.2 RQ-факторизация
Приложение B
(справочное)
Применение алгоритма Гаусса-Ньютона к обобщенной регрессии
B.1 В данном приложении приведены алгоритмы в соответствии с 7.2.1 и 8.2.1 с использованием алгоритма Гаусса-Ньютона.
B.2 Алгоритмы, приведенные в 7.2.1 и 8.2.1, являются частным случаем итеративного алгоритма Гаусса-Ньютона (см. [10]) для минимизации суммы квадратов нелинейных функций:
В.4 Пусть p - решение уравнения
как функция A и B.
Приложение C
(справочное)
Применение ортогональной факторизации к решению обобщенной задачи Гаусса-Маркова
С.1 Общие положения
С.2 Оценки параметров калибровочной функции, соответствующие стандартной неопределенности и ковариации
Оценки a и b вычисляют в соответствии с вычислениями 1-9, приведенными ниже; стандартные неопределенности u(a) и u(b) оценивают в соответствии с вычислениями 10:
3) определяют разложение на множители QR-факторизацию матрицы J:
Примечание 1 - Подход, описанный в С.2, представляет собой общее решение при определении параметров линейной калибровочной функции на основе метода наименьших квадратов. Все другие подходы, описанные в настоящих рекомендациях, являются частными случаями этого подхода.
Примечание 2 - Вычисления 1, 2, 8 и 9 в С.2 идентичны соответственно вычислениям 1, 2, 9 и 10 в 10.2.2.
С.3 Валидация модели
Пример 1 - Подход QR-факторизации может быть применен к числовому примеру, описанному в разделе 10.
Для данного примера алгоритм, приведенный в С.2, математически эквивалентен алгоритму, приведенному в 10.2.2. Оба подхода дают очень близкие числовые результаты.
Для этого примера не может быть применен алгоритм, описанный в 10.2.2, так как U не является положительно определенной. Вместо него может быть использован алгоритм, описанный в С.2.
| |
50,5 | 47,1 |
99,7 | 98,4 |
150,2 | 153,7 |
199,5 | 194,0 |
249,9 | 251,9 |
299,2 | 297,5 |
349,7 | 349,0 |
|  |  |  |  |  |  |
50,5000 | 30,8229 | 3,1874 | 23,2957 | 8,1124 | 16,4231 | 50,8086 |
99,7000 | 55,8313 | -13,8365 | 26,1136 | -0,2063 | 15,6770 | 100,2570 |
150,2000 | 86,6542 | -10,6491 | 49,4093 | 7,9061 | 32,1002 | 151,0655 |
199,5000 | -59,0711 | -8,5976 | -49,5849 | -44,7904 | -43,0470 | 198,9044 |
249,9000 | -28,2482 | -45,4102 | -26,2891 | -36,6780 | -26,6237 | 249,6130 |
299,2000 | -3,2398 | -62,4341 | -23,4713 | -44,9967 | -27,3698 | 299,1613 |
349,7000 | 27,5831 | -59,2467 | -0,1755 | -36,8843 | -10,9468 | 349,9699 |
-1,8528 | -50,6203 | -140,0856 | -63,9316 | -100,9432 | -68,1345 | -2,3731 |
1,0042 | 0,1738 | 0,8571 | 0,3217 | 0,6108 | 0,3722 | 1,0060 |
Приложение D
(справочное)
Представление неопределенностей и ковариаций результатов измерений х и у
D.1 Общие положения
В данном приложении установлено, как могут быть получены неопределенности и ковариации, соответствующие результатам измерений и моделируемым значениям. Подход основан на использовании модели процесса измерений, лежащей в основе определения отклика и моделируемых данных и применения закона распространения неопределенности в соответствии с Руководством ИСО/МЭК 98-3:2008. С этой целью использованы иллюстративные примеры.
D.2 Данные отклика 1
D.2.1 Общие положения
D.2.1.1 Предполагается, что величина Y, представляющая отклик средства измерений, может быть описана моделью измерений
D.2.1.3 Таким образом ковариационная матрица в этом случае
D.2.2.1 Данные, используемые в примере раздела 9, получены для измерительной системы, на которой выполнены две группы измерений. Каждая группа измерений подвергалась различным воздействиям системы. Эти воздействия являются некоррелированными, т.е.
D.2.2.3 Ковариационная матрица в этом случае имеет вид:
D.3 Данные отклика 2
D.3.1 Модель измерений идентична выражению (D.1) за исключением того, что воздействия системы E являются абсолютными; D - относительное воздействие системы.
D.3.3 Ковариационная матрица в этом случае имеет вид:
D.4 Данные моделирования
D.5 Входные данные 2
D.6 Исходные и наблюдаемые данные
D.6.2 Предположим, что X и Y могут быть описаны моделью измерений
D.6.4 Если вместо X и Y может быть применена модель измерений
Приложение E
(справочное)
Неопределенность, известная с точностью до постоянного множителя
Е.1 В данном приложении описан метод оценки неопределенности результатов измерений в случае, если неопределенность известна с точностью до постоянного коэффициента.
Е.2 В настоящих рекомендациях предполагается, что величины (переменные) характеризуются согласно принципам Руководства ИСО/МЭК 98-3:2008 и Руководства ИСО/МЭК 98-3:2008/Дополнение 1:2008 (см. [13]) распределением вероятностей. Результатам измерений соответствует математическое ожидание и дисперсия соответствующей случайной величины.
E.3 Так как калибровочную функцию используют при выполнении измерений, оценка неопределенности данных калибровки должна быть столь полной и строгой насколько возможно. Оценки параметров калибровочной функции и их неопределенности могут в этом случае быть использованы с доверием.
Е.5 Эти методы должны быть использованы с большой осторожностью. Например, если график данных указывает, что они не соответствуют линейной калибровочной функции, метод не должен быть использован.
Е.9 Скорректированная по масштабу ковариационная матрица
может быть представлена в виде:
Е.10 Оценки (Е.1) основаны на конечном количестве m исходных данных. Для небольших m метод занижает значение дисперсии распределения для оценок параметров. Для m>4 лучшую оценку определяют (см. [19, глава 8]) используя
Таблица Е.1 - Данные шести результатов измерений
| | u( ) |
1,000 | 3,014 | 1 |
2,000 | 5,225 | 1 |
3,000 | 7,004 | 1 |
4,000 | 9,061 | 1 |
5,000 | 11,201 | 1 |
6,000 | 12,762 | 1 |
Таблица Е.2 - Вычисления на основе данных таблицы Е.1
| | | | | | | | | |
|
|
|
| 3,500 | 8,044 |
|
| a=1,172 |
|
1,000 | 1,000 | 1,000 | 3,014 | -2,500 | - 5,031 | 6,250 | 12,576 | -0,122 | 0,015 |
1,000 | 1,000 | 2,000 | 5,225 | -1,500 | -2,819 | 2,250 | 4,229 | 0,126 | 0,016 |
1,000 | 1,000 | 3,000 | 7,004 | -0,500 | -1,040 | 0,250 | 0,520 | -0,059 | 0,003 |
1,000 | 1,000 | 4,000 | 9,061 | 0,500 | 1,017 | 0,250 | 0,508 | 0,035 | 0,001 |
1,000 | 1,000 | 5,000 | 11,201 | 1,500 | 3,157 | 2,250 | 4,735 | 0,211 | 0,045 |
1,000 | 1,000 | 6,000 | 12,762 | 2,500 | 4,718 | 6,250 | 11,794 | -0,191 | 0,037 |
| 6,000 | 21,000 | 48,267 |
|
| 17,500 | 34,363 | b=1,964 | 0,116 |
Рисунок Е.1 - Данные таблицы Е.1 и полученная линейная калибровочная функция (см. таблицу Е.2)
cov(a, b)=-3,500/17,500=-0,200.
Рисунок Е.2 - Взвешенные остатки для подобранной линейной калибровочной функции в соответствии с таблицей Е.2
Приложение F
(справочное)
Разработка программного обеспечения для описанных алгоритмов
F.1 Программное обеспечение, реализующее алгоритмы, описанные в настоящих рекомендациях для определения и использования линейных калибровочных функций, разработано Национальной Физической Лабораторией (NPL) Соединенного Королевства. Программное обеспечение доступно как архивированная папка ZIP с веб-сайтов NPL www.npl.co.uk/mathematics-scientific-computinq/software-support-for-metroloqy/software-downloads-(ssfm)<http://www.npl.co.uk/mathematics-scientific-computinq/software-support-for-metroloqy/software-downloads-(ssfm)> и ИСО standards.iso.org/iso/ts/28037/.
- TS28037_WLS1 (выполняет числовой пример метода взвешенных наименьших квадратов с известными равными весовыми коэффициентами, описанный в разделе 6 и выполняет прогноз, описанный в 11.1, пример 1 и предварительную оценку, описанную в 11.2);
- TS28037_WLS2 (выполняет числовой пример метода взвешенных наименьших квадратов с известными неравными весовыми коэффициентами, описанный в разделе 6, и выполняет прогноз, описанный в 11.1, пример 2);
- TS28037_WLS3 (выполняет числовой пример метода взвешенных наименьших квадратов с неизвестными равными весовыми коэффициентами, описанный в приложении Е);
- TS28037_GDR1 (выполняет числовой пример обобщенного регрессионного анализа расстояний, описанный в разделе 7);
- TS28037_GDR2 (выполняет числовой пример, иллюстрирующий алгоритм для обобщенной регрессии расстояний, описанный в разделе 8);
- ТS28037_GMR (выполняет числовой пример регрессии Гаусса-Маркова (GMR), описанный в разделе 9);
- TS28037_GGMR1 (выполняет числовой пример обобщенной регрессии Гаусс-Маркова, описанный в разделе 10);
- TS28037_GGMR2 (выполняет числовой пример обобщенной регрессии Гаусса-Маркова, описанный в разделе 10 и приложении С, Пример 1, с использованием ортогонального разложения, описанного в С.2);
- TS28037_GGMR3 (выполняет числовой пример, описанный в приложении С, Пример 2,с использованием ортогонального разложения, описанного в С.2).
Несмотря на то, что прогноз и предварительная оценка могут быть выполнены только в скриптах, предназначенных для решения задач взвешенных наименьших квадратов, текст MATLAB, соответствующий этому использованию калибровочной функции, может быть скопирован и прикреплен к любому из обеспеченных скриптов.
F.3 Программное обеспечение должно быть использовано вместе с настоящими рекомендациями. Пользователи должны изучить настоящие рекомендации до применения программного обеспечения.
F.4 Предоставлено соглашение о лицензии на программное обеспечение, имеется лицензионное соглашение (REF: MSC/L/10/001) и использование программного обеспечения должно соответствовать правовым требованиям этого соглашения. Используя MATLAB, пользователь принимает условия соглашения. Запросы на программное обеспечение следует направлять в NPL по адресу enquiries@npl.co.uk.
Приложение G
(справочное)
Перечень основных условных обозначений
А | - точка пересечения линейной калибровочной функции с осью абсцисс; |
А* | - неизвестное значение параметра A для конкретной измерительной системы; |
а | - оценка параметра A; |
а | - вектор ( а , b ) оценок параметров калибровочной функции; |
В | - угловой коэффициент линейной калибровочной функции; |
В* | - неизвестное значение параметра B для конкретной измерительной системы; |
b | - оценка параметра B; |
cov(a, b) | - ковариация оценок а и b; |
| - разность (  ), представляющая собой реализацию случайной величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией ; |
| - разность (  ), представляющая собой реализацию случайной величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией ; |
L | - нижняя треугольная матрица; |
m | - количество точек результатов измерений; |
| - взвешенный остаток или взвешенное расстояние i-й точки для оценок a и b; |
| - взвешенный остаток или взвешенное расстояние i-й точки для параметров A и B; |
U | - матрица ковариации размерности 2 m 2 m , соответствующая результатам измерений ( , ), i =1, ..., m ; |
| - ковариационная матрица а размерности 2 2; |
| - ковариационная матрица размерности m m , соответствующая результатам измерений , i =1, ..., m ; |
| - ковариационная матрица размерности m m , соответствующая результатам измерений , i =1, ..., m ; |
 | - стандартное отклонение случайной величины с распределением, отражающим знания о случайных воздействиях; |
 | - стандартное отклонение случайной величины с распределением, отражающим знания о влиянии системы; |
u(z) | - стандартная неопределенность z , в качестве z могут быть использованы a , b , , , и т.д.; |
 | - величина, обратная u ( ); |
 | - величина, обратная u ( ); |
X | - независимая величина (переменная); |
| - i-я независимая величина (переменная); |
| - неизвестное значение i-й независимой величины, обеспечиваемое измерительной системой; |
x | - оценка X (в случае прогноза) или результат измерений X (предварительная оценка); |
| - i-й результат измерений X; |
| - оценка i-й независимой величины переменной; |
Y | - зависимая величина (переменная); |
| - i-я зависимая величина; |
| - неизвестное значение i-й зависимой величины, измерения которой обеспечивает измерительная система; |
y | - результат измерений величины Y (в случае прогноза) или оценка Y (предварительная оценка); |
| - i-й результат измерений величины Y; |
| - оценка i-й зависимой величины; |
| - число степеней свободы для модели -распределения или t -распределения; |
| - стандартное отклонение случайной величины, характеризуемой распределением вероятностей; |
| - апостериорная оценка ; |
| - наблюдаемое значение ; |
| - случайная величина, подчиняющаяся -распределению с v степенями свободы. |
Приложение ДА
(справочное)
Сведения о соответствии ссылочных международных стандартов ссылочным национальным стандартам Российской Федерации
Таблица ДА.1
Обозначение ссылочного международного документа | Степень соответствия | Обозначение и наименование соответствующего национального стандарта |
Руководство ИСО/МЭК 99:2007 | - | * |
Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 | IDT | ГОСТ Р 54500.3-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения" |
Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/, Дополнение 1:2008 | IDT | ГОСТ Р 54500.3.1-2011/Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 /Дополнение 1:2008 "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения по выражению неопределенности измерения. Дополнение 1. Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло" |
* Соответствующий национальный стандарт отсутствует. До его утверждения рекомендуется использовать перевод на русский язык данного международного стандарта. Перевод данного международного стандарта находится в Федеральном информационном фонде технических регламентов и стандартов.
Примечание - В настоящей таблице использовано следующее условное обозначение степени соответствия стандартов:
- IDT - идентичные стандарты. | ||
Библиография
[1] | Anderson, Е., Bai, Z., Bischof, С.H., Blackford, S., Demmel, J., Dongarra, J.J., Croz, J.D.A. Greenbaum, Hammarling, S., McKenney, A., and Sorensen, D.С. LAPACK Users’ Guide, 3rd ed., SIAM, Philadelphia, PA, 1999, http://www.netlib.org/lapack/lug/ | |
[2] | Bartholomew-Biggs, M., Butler, B.P., and Forbes, A.B. Optimisation algorithms for generalised regression on metrology, In Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology IV (Singapore, 2000), P. Ciarlini, A.B. Forbes, F. Pavese, and D. Richter, Eds., World Scientific, pp.21-31 | |
[3] | Boggs, P.T., Byrd, R.H., and Schnabel, R.B. A stable and efficient algorithm for nonlinear orthogonal distance regression, SIAM J. Sci. Stat. Comput. 8, 6 (1987), 1052-1078 | |
[4] | Butler, B.P., Cox, M.G, Ellison, S. L. R., and Hardcastle, W.A., Eds., Statistics Software Qualification: Reference Data Sets, Royal Society of Chemistry, Cambridge, 1996 | |
[5] | Carroll, R.J., Ruppert, D., and Stefanski, L. a. Measurement error in nonlinear models, Chapman& Hall/CRC, Boca Raton, 1995 | |
[6] | Cox, M.G., Forbes, A.B., Harris, P.M., and Smith, I.M. The classification and solution of regression problems for calibration, Tech. Rep. CMSC 24/03, National Physical Laboratory, Teddington, UK, 2003 | |
[7] | Draper, N.R., and Smith, H. Applied Regression Analysis, Wiley, New York, 1998, Third edition | |
[8] | Forbes, A.B., Harris, P.M., and Smith, I.M. Generalised Gauss-Markov regression, In Algorithms for Approximation IV (Huddersfield, UK, 2002), J. Levesley, I. Anderson, and J.C.Mason, Eds., University of Huddersfield, pp. 270-277 | |
[9] | Fuller, W. a. Measurement Error Models, Wiley, New York, 1987 | |
[10] | Golub, G.H., and Van Loan, C.F. Matrix Computations, North Oxford Academic, Oxford, 1983 | |
[11] | ISO 3534-1:2006 | Statistics - Vocabulary and symbols - Part 1: General statistical terms and terms used in probability |
[12] | ISO 3534-2:2006 | Statistics - Vocabulary and symbols - Part 2: Applied statistics |
[13] | ISO/IEC Guide 98-3/Suppl.1, Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) - Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method | |
[14] | ISO 11095:1996 | Linear calibration using reference materials |
[15] | Kendall, M.G., and Stuart, a. The Advanced Theory of Statistics, Volume 2: Inference and Relationship. Charles Griffin, London, 1961. | |
[16] | Kukush, A., and Van Huffel, S. Consistency of elementwise-weighted total least squares estimator in a multivariate errors-in-variables model AX-B, Metrika 59, 1 (February 2004), 75-97 | |
[17] | Mardia, K.V., Kent, J.T., and Bibby, J.M. Multivariate Analysis, Academic Press, London, 1979 | |
[18] | MATLAB http://www.mathworks.com/products/matlab/ | |
[19] | Migon, H.S. and Gamerman, D. Statistical Inference: An Integrated Approach, Arnold, London, 1999 | |
[20] | Paige, C.C. Fast numerically stable computations for generalized least squares problems, SIAM J. Numer. Anal. 16 (1979), 165-171 | |
[21] | Strang, G., and Borre, K. Linear Algebra, Geodesy and GPS, Wiley, Wellesley-Cambridge Press, 1997 | |
УДК 658.562.012.7:65.012.122:006.354 | ОКС 03.120.30 | Т59 |
Ключевые слова: оценки неопределенности, повторяемости, воспроизводимости, правильности, математическое ожидание, прецизионность, стандартное отклонение, дисперсия, смещение | ||